Флуксонные и антифлуксонные состояния в длинном джозефсоновском переходе

Н.В. Блинов, И.В. Широков, К.Н. Югай

Омский государственный университет, кафедра общей физики
644077, Омск, пр. Мира, 55-А

Получена 12 марта 1998 г.

Длинный джозефсоновский переход (ДДП) представляет собой большой интерес прежде всего с точки зрения создания на его основе практических устройств - сквидов - сверхпроводящих квантовых интерферометров. Однако, ДДП интересен как простая и вместе с тем глубокая физическая и математическая модель нелинейных явлений. Динамический хаос, обнаруженный в ДДП, является предметом интенсивных исследований (см., например, [1-6]).

Известно, что нелинейное уравнение Феррелла-Прейнджа для разности фаз волновой функции сверхпроводящего конденсата на переходе, описывающего стационарные состояния длинного джозефсоновского перехода (ДДП) во внешнем магнитном поле, при заданных граничных условиях обладает не единственным решением, и число их зависит от величины магнитного поля и увеличивается при увеличении длины перехода. Ясно, что в реальном переходе при заданных внешнем магнитном поле и длине перехода может реализоваться лишь одно конкретное состояние, и, очевидно, это состояние должно быть одним из решений уравнения Феррелла-Прейнджа. Возникает вопрос, каким образом происходит отбор одного из решений этого уравнения? Что влияет на отбор этого решения? В нашей предыдущей работе [4] было показано, что, во-первых, асимптотические решения нестационарного уравнения sine-Gordon для разности фаз волновой функции на переходе совпадают с решениями уравнения Феррелла-Прейнджа, во-вторых, не все решения граничной задачи Феррелла-Прейнджа являются устойчивыми, часть из них оказалась метастабильной, неустойчивой. В работе [5] нами было показано, что в системе с диссипацией на отбор того или иного асимптотического решения влияет вид начального быстро затухающего возмущения независимо от того, является ли начальное состояние хаотическим или нет. Иными словами, на то, по какому пути пойдет система в бесконечном будущем, существенно влияет малое быстро затухающее начальное возмущение. Это свойство ДДП было названо нами эффектом памяти. При наличии и внешнего магнитного поля, и тока смещения существуют, как было показано в [5], три кластера асимптотических состояний: стационарные, регулярные и хаотические. При изменении параметра начального возмущения система совершает переходы между эти тремя кластерами асимптотических состояний. В работе [6] нами было показано, что параметрическая область -, где - ток смещения, - внешнее магнитное поле, разбивается бифуркационными кривыми на ряд областей с различным числом решений уравнения Феррелла-Прейнджа, причем вдоль бифуркационной кривой, разделяющей область с двумя стационарными решениями от области, где стационарные решения отсутствуют, возникает полоска хаоса. При наличии тока смещения часть стационарных решений является устойчивой, другая - неустойчивой. В настоящей работе мы попытаемся более подробно исследовать эти устойчивые и неустойчивые решения. Мы проанализируем эту проблему с точки зрения квантования потока. Покажем, что все состояния с полуцелым числом квантов потока являются неустойчивыми. Состояния с целым числом квантов потока - это флуксонные и антифлуксонные состояния, причем флуксонные состояния являются устойчивыми, а антифлуксонные состояния - неустойчивыми.

Стационарные флуксонные и антифлуксонные состояния являются решениями граничной задачи Феррелла-Прейнджа:

где - стационарная джозефсоновская фаза - разность фаз волновой функции сверхпроводящего конденсата на переходе; - плотность тока смещения, нормированная на плотность критического тока перехода ;- расстояние вдоль перехода, отнесенная к джозефсоновской длине проникновения магнитного поля ,

;

 - квант потока; ; - лондоновская глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник; - толщина диэлектрического барьера. Граничные условия для уравнения (1) имеют вид

Здесь - внешнее магнитное поле, перпендикулярное к переходу и нормированное на

;

 - длина перехода, нормированная на .

Уравнение (1) с граничными условиями (2) решалось численно при различных значениях , и . Вычислялось также распределение магнитного поля и плотности тока в переходе.

Для определения устойчивости стационарных решений уравнения (1) использовалось также, как и в работе [4], нестационарное уравнение sine-Gordon с диссипацией и током смещения:

где t - время, нормированное на обратную величину джозефсоновской плазменной частоты ,

;

 - емкость перехода на единицу площади; - коэффициент диссипации на единицу площади перехода

;

  - сопротивление перехода на единицу площади. Граничные условия для уравнения (3) имеют вид

Известно, что в бесконечно длинных джозефсоновских переходах при , где , возникает однофлуксонное состояние, а при - мейсснеровское состояние [7]. Полный поток магнитного поля в этом случае:

где поток нормирован на квант потока , т.е. однофлуксонное состояние несет с собой точно один квант потока. В случае переходов конечной длины ситуация существенным образом изменяется. В работе [6] было показано, что является функцией , а полный поток не равен 1 и для однофлуксонного состояния. Однако, в случае переходов конечной длины на краях перехода всегда текут экранирующие токи, и поток флуксона должен рассчитываться иным образом, исключающим эффекты на границах. Следующая теорема решает эту проблему: если функция является асимптотическим решением граничной задачи sine-Gordon с диссипацией и током смещения, то поток

где - целое положительное число только для флуксонных и антифлуксонных состояний; - ближайщие соответственно к левому и правому краям перехода точки, в которых . В этих точках для флуксонных состояний и - для антифлуксонных состояний.

Номер состояния	Устойчивость		Переходы k->l	x1	x2	n	Характер состояния
1	unstable	1.3332	1->10	1.1939	8.6787	1.5
2	unstable	2.4223	2->8	1.0990	8.8860	1	1 antifluxon
3	unstable	0.4617	3->8	1.0935	6.1002	0.5
4	unstable	15.5460	4->10	0.9905	5.9908	0
5	unstable	16.6949	5->10	0.8255	9.1572	0
6	unstable	15.5460	6->10	4.0051	9.0001	0
7	unstable	13.9017	7->10	4.9989	4.9989	0
8	stable	-1.4885	8->8	4.9702	4.9702	0	Meissner
9	unstable	0.4617	9->8	3.8932	8.8944	0.5
10	stable	-0.8897	10->10	1.9301	8.0575	1	1 fluxon
11	unstable	1.3332	11->10	1.2917	8.7983	1.5
12	stable	0.8526	12->12	0.7730	9.2108	2	2 fluxon

Рис. 1. Распределение тока вдоль перехода

На рис. 1 показаны распределения тока при = 1,2; = 0 и = 10 для четырех состояний: антифлуксонного 2, мейсснеровского 8, однофлуксонного 10 и двухфлуксонного 12.

В таблице представлены результаты расчетов при = 1,2, = 0 и = 10. Представлены также результаты расчетов термодинамического потенциала Гиббса состояний, а также переходы между ними. Потенциал Гиббса расчитывался по формуле

Здесь - потенциал Гиббса на единицу длины вдоль внешнего магнитного поля, нормированный на

Заметим, что уравнение Феррелла-Прейнджа является экстремалью функционала (7). В [6] показано, что значения G для всех состояний - и устойчивых, и неустойчивых - решений уравнения Феррелла-Прейнджа являются локальными минимумами. Видно, что все неустойчивые состояния распадаются и переходят в какое-либо устойчивое состояние. Антифлуксонное состояние 2 распадается и переходит в устойчивое мейсснеровское состояние.

При общее число решений уравнения Феррелла-Прейнджа уменьшается. Например, при = 1,2, = 10 и = 0.1 общее число решений уменьшается до 8, среди которых условиям теоремы удовлетворяют всего два решения: антифлуксонное и однофлуксонное, устойчивым является только однофлуксонное состояние.

Таким образом, устойчивыми оказываются не просто состояния, в которых квантуется поток, а именно флуксонные состояния. Сформулированная выше теорема может служить также в качестве простого критерия устойчивости решений уравнения Феррелла-Прейнджа.

Работа поддержана грантом "Университеты России - фундаментальные исследования"

Литература