Накат уединенной волны на наклонный берег

К.Е. Афанасьев, С.В. Стуколов

Кемеровский государственный университет
650043, Кемерово, ул.Красная, 6, Университет, ИВЦ

Получена 27 февраля 1997 г.

Исследованию взаимодействия уединенных волн(солитонов) с наклонными и вертикальными преградами посвящено множество работ, выполненных как на основе численных расчетов [1], так и в экспериментах [2]. Основное внимание в приведенных работах уделяется определению максимального заплеска волны в зависимости от ее амплитуды и угла наклона стенки, а также фиксированию изменения давления на преграду в процессе наката волны. Для некоторого диапазона углов наклона преграды накат волны сопровождается ее опрокидыванием. Математическое моделирование этого процесса затруднено вследствие быстроты протекающих явлений и существенной нелинейности поведения волны в последние перед обрушением моменты времени.

В настоящей работе основное внимание уделяется эффектам взаимодействия волн с преградами, сопровождающимся опрокидыванием волны. В полном объеме задача является сложной и многопараметрической, поэтому ниже приводятся результаты задачи наката солитона на наклонную стенку только для амплитуды A=0,5. В результате систематических расчетов получены разнообразные формы возникающих течений и выявлены четыре зоны по типу опрокидывания в зависимости от угла наклона стенки.

Решение задачи основано на применении техники метода комплексных граничных элементов(МКГЭ), подробно изложенного в [3], а применительно к задачам волновой гидродинамики - в [4,5]. Начальное положение свободной поверхности и распределение потенциала на ней были получены на основе решения стационарной задачи об уединенной волне[5]. Контроль точности метода проводится на тестовых расчетах и сравнении результатов с работами других авторов.

1. Постановка задачи.

В расчетной области течения D, ограниченной свободной поверхностью и твердыми стенками (рис.1), решается уравнение Лапласа:

(1)

для функции комплексного потенциала , где - потенциал скорости и - функция тока, удовлетворяющие условиям Коши-Римана. На твердых границах выполняется условие непротекания.

(2)

На свободной границе выполняются кинематическое и динамическое условия

(3)

(4)

где - вектор скорости; g - ускорение свободного падения. Кроме того, необходимо задать начальное положение свободной границы и начальное распределение потенциала на ней. Для удобства численной реализации задача приводится к безразмерному виду. В качестве характерных размеров выбираются ускорение свободного падения g и глубина бассейна H. При этом краевая задача (1)-(3) останется без изменений, а уравнение (4) примет вид:

(5)

2. Тестовые расчеты.

Для подтверждения работоспособности выбранного метода проводится ряд тестов.

Первый тест заключается в том, чтобы найти решение уравнения Лапласа в области , в которой на дне и вертикальных стенках ставится условие непротекания , а на верхней границе условие - , правая часть в котором является гармонической функцией. Численные значения функции тока найденные комплексным методом граничных элементов, сравниваются с точным решением: . В таблице приведена относительная погрешность точного и численного значений функции от числа узлов N по границе, с указанием числа узлов на свободной границе N_g. Вектор скорости (V_x,V_y) в каждом узле на свободной поверхности вычислялся методом, изложенным в работе [4], и сравнивался с точным значением V_x^т=sin(x)ch(y+1), V_y^т=-cos(x)sh(y+1).

72/30	5,5E-03	2,0E-03	1,6E-02	3,4
145/60	1,3E-03	6,5E-04	9,3E-03	3,6
290/120	3,1E-04	6,2E-04	8,7E-03	4,3
580/240	7,6E-05	6,0E-04	5,7E-03	5,7

В третьей и четвертой колонках приведены , . В пятой колонке таблицы приводятся числа обусловленности результирующей системы линейных алгебраических уравнений. Сравнительно небольшое число обусловленности объясняется тем, что в основе численного метода лежит уравнение Фредгольма II рода.

Данный тест позволяет судить о сходимости метода на зафиксированной границе при увеличении числа точек.

Второй тест проводится на решении нестационарной задачи о движении уединенной волны (солитона) амплитуды А=0,5 по бассейну постоянной глубины. В данном тесте важным является то, что уединенные волны в процессе движения не изменяют скорость, сохраняют форму, полную энергию. На рис.2 показаны профили свободной границы для нескольких моментов времени и процент отклонения полной энергии. Данный тест дополняется расчетом взаимодействия уединенной волны с вертикальной стенкой. На рис.3 для волн различных амплитуд показаны хронограммы волнового давления в точке стенки, совпадающей с начальным урезом жидкости. Символами "*" и "+" на график нанесены результаты расчета для амплитуды волны A=0,4 и A=0,5 из работы [1]. При амплитудах A>0,3 расчетные хронограммы имеют более одного локального максимума. Эта особенность при накате солитонов на вертикальную стенку подтверждается экспериментами [2].

Анализ проводимых тестов подтверждает консервативность МКГЭ при моделировании волновых задач гидродинамики со свободными границами.

3. Численные результаты.

Геометрия области течения схематически показана на рис.1. Глубина бассейна H=1, дно начинает возвышаться в точке x=0 под углом , вершина волны в начальный момент находилась в точке x=-5. На границе области было взято 350 элементов, из них 200 - на свободной поверхности. Контроль точности за решением осуществлялся по закону сохранения полной энергии. Относительная ошибка изменения полной энергии для всех расчетов не превышала 3-5%. Меняющимся параметром задачи был угол наклона правой стенки, который принимал значения от 5^o до 90^o с шагом 5^o.

В результате расчетов были выявлены четыре зоны течений по типу опрокидывания в зависимости от угла наклона стенки.

Первая зона течений соответствует малым углам наклона стенки (пологое дно) и характеризуется тем, что волна опрокидывается вперед (по ходу движения в начальный момент времени) во время наката на берег.

Рис. 1. Начальная геометрия к задаче о накате солитона на наклонную стенку

Рис. 2. Движение уединенной волны по ровному дну

Рис. 3. Накат волны на берег (вторая зона)

Рис. 4. Накат волны на берег (третья зона)

Рис. 5. Накат волны на берег (четвертая зона)

Рис. 6. Хронограммы волнового давления

На рис.4 представлены профили свободной поверхности в последние перед обрушением моменты времени для угла наклона стенки .

Вторая зона течений соответствует углам наклона стенки в диапазоне от 15^o до 40^o и характеризуется тем, что волна опрокидывается по прежнему вперед, но во время отката от берега. На рис.5 демонстрируются результаты расчета для угла наклона стенки .

Рис. 7. Накат волны на берег (первая зона)

Рис. 8. Накат волны на берег (вторая зона)

Третья зона течений соответствует углам наклона стенки в диапазоне от 50^o до 60^o и характеризуется тем, что волна опрокидывается во время отката от берега, но в противоположном направлении относительно движения в начальный момент времени. Пример такого поведения волны при накате на наклонную стенку под углом 50^o приведен на рис.6.

В диапазоне углов наклона стенки более 65^o волна откатывается без опрокидывания, порождая за собой след из затухающих волн малой амплитуды (рис.7).

На рис.8 показаны хронограммы волнового давления: а) в точке x=0, где дно начинает возвышаться; б) в точке стенки, совпадающей с начальным урезом жидкости.

Литература